Question

【题目】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点.将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A－BCD.

（1）求证：平面ABD⊥平面BCD

（2）若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值为，求二面角B－AD－E的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由AB⊥AC和AB⊥AD，可得AB⊥平面ADC，所以AB⊥CD，而BD⊥DC，所以CD⊥平面ADB，从而可证得平面ABD⊥平面BCD；

（2）由AB⊥平面ADC，可知二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，由二面角C－AB－D的余弦值为，解出AB，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面ABD的法向量，平面AED的法向量，即可得二面角B－AD－E的正弦值

（1）证明：因为直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，

所以AB⊥AD，

因为AB⊥AC，，所以AB⊥平面ADC，

所以AB⊥CD，

因为BD⊥DC， ,

所以CD⊥平面ADB，

因为CD在平面BCD内，

所以平面ABD⊥平面BCD

（2）由（1）知AB⊥平面ADC，

所以二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，

因为CD⊥平面ADB，所以AD⊥CD，

所以,得,所以,

设，则，

由题意可知,所以，即，解得，

所以，

如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则

,

所以,

因为CD⊥平面ADB，所以令平面ADB的法向量为，

设平面AED的法向量为，则

，即，

取，则，

设二面角B－AD－E的平面角为，

则，

所以，

所以二面角B－AD－E的正弦值为，