Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且过抛物线C：x²=4y的焦点F．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过坐标平面上的点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，它们分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点．
（i）若点F′恰好是点F关于-轴的对称点，且l₃与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F′的位置，或切线l₃的位置，或抛物线C的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的离心率为

3

2

，可得，

c

a

=

3

2

，根据椭圆过抛物线C：x²=4y的焦点F．可知点F（0，1）满足椭圆方程，再根据a²=b²+c²，即可求出a，b，c，得出椭圆方程．
（II）（i）只要能求出△ABF′的外接圆方程，再验证点F是否在圆上，命题就得证．可先求出三条切线方程，分别联立，求三条切线交点，再利用待定系数法求△ABF′的外接圆方程，最后，把F点坐标代入，看是否满足方程即可．
（ii）命题可写出几个，选最好证明的写，不妨写成：设F^′为抛物线外一点，若过点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点，则：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．仿照（i），把三条切线方程设出，分别联立，求三个交点坐标，再证，F^′，A，B，F四点共圆，来证明命题．

解答：解：（I）由已知得F（0，1），设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则，b=1
椭圆的离心率为

3

2

，可得，

c

a

=

3

2

，又∵a²=b²+c²，∴a=2，c=

3

∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（II）（i）依题意，点F^′的坐标为（0，-1），过点F'且与拋物线c相切的直线斜率存在，
设其方程为y=kx-1．代入抛物线方程，消y，得x2-4kx+4=0，令△=0，得k=±1
则切线l₁和l₂方程分别为y=x-1和y=-x-1，又∵且l₃与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点．
∴l₃的方程为y=0．
由

y=x-1 y=0

，得点A坐标为（1，0）
由

y=-x-1 y=0

，得点B坐标为（-1，0）
设△ABF^′′的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+4F=0，则

1+D+F=0 1-D+F=0 1-E+F=0

，解得

D=0 E=0 F=-1

∴设△ABF^′′的外接圆方程为x²+y²=1
：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．
（ii）使（i）中的结论成立的命题为：设F^′为抛物线外一点，若过点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．
证明：不妨设拋物线方程为x²=2py，l_i分别与抛物线交于点P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3）
依题意，x₁，x₂，x₃中至少有两个不为0，不妨设x₁≠0，x₂≠0．
∵y′=

x

p

故切线l_i的方程为y-y_i=

xi

p

（x-x_i），i=1，2，3
由

y-y1= x1 p (x-x1 ) y-y2= x2 p (x-x2)

，得F^′（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
 由 

y-y1= x1 p (x-x1 ) y-y3= x2 p (x-x3)

   得A（  

x1+x3

2

，

x1x3

2p

）                  
   

y-y2= x1 p (x-x2 ) y-y3= x2 p (x-x3)

，得B（  

x1+x3

2

，

x1x3

2p

）
∴AF^′的垂直平分线方程为y-

x1x2+x1x3

4p

=-

p

x1

（x-

2x1+x2+x3

4

），
    BF^′ 的垂直平分线方程为 y-

x1x2+x2x3

4p

=-

p

x2

（x-

x1+2x2+x3

4

）
它们的交点为M（

x1+x2+x3

4

-

x1x2x3

4p2

，

x1x2+x2x3+x1x3+p2

4p

）
又∵F（0，

p

2

），AF的中点为N（

x1+x3

4

，

x1x3+p2

4p

）
从而  

FA

=（ 

x1+x3

2

，

x1x3-p2

2p

），

NM

=（ 

x2

4

- 

x1x2x3

4p2

，

x1x2+x2x3

4p

）
 

FA

•

NM

=

x1+x3

2

（

x2

4

-

x1x2x3

4p2

）+

x1x3-p2

2p

•

x1x2+x2x3

4p

=0  
∴

FA

⊥

NM

，∴AF^′，BF^′AF的垂直平分线教育一点M圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，题目较难，须认真考虑．