Question

【题目】如图，已知椭圆，左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为椭圆上在第一象限内一点．

（1）若．

①求椭圆的离心率；

②求直线的斜率．

（2）若，，成等差数列，且，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）① ； ② ；（2）.

【解析】

（1）①根据得，即，可得离心率；②设的直线方程，由，得即可求得斜率；

（2）根据得离心率的范围，根据，，成等差数列，计算化简得，平方处理成关于离心率的函数关系，利用函数单调性求范围.

解：（1）①因为，所以，

所以，即，所以.

②设的直线方程为，

因为，所以，

所以，则，

因为在第一象限，所以，

所以，

因为，所以，所以.

（2）设，则，因为在第一象限，所以，

，所以，

因为，，成等差数列，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，又由已知，所以，

因为，所以，

因为，

令，所以，

，

因为，所以，

所以，所以，

因为为椭圆上在第一象限内一点，所以，所以.