Question

（2008•天河区模拟）已知x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根．
（1）当实数m为何值时，x₁²+x₂²取得最小值？
（2）若x₁、x₂都大于

1

2

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用韦达定理，得出根与系数的关系，利用

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂可构建函数，从而可求实数m的值；
（2）将x₁、x₂都大于

1

2

，转化为（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0，再利用韦达定理，即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵x₁、x₂是方程4x²-4mx+m+2=0的两个实根
∵△=16m²-16（m+2）=16（m²-m-2）≥0，
∴m≤-1或m≥2，…（3分）
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=

m+2

4

∴

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2•

m+2

4

=（m-

1

4

）²-

17

16

，
∴当m=-1时，x₁²+x₂²有最小值．…（7分）
（2）∵x₁、x₂都大于

1

2

∴（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0，
即x₁x₂-

1

2

（x₁+x₂）+

1

4

＞0且x₁+x₂-1＞0，…（10分）
∴

m+2

4

-

1

2

m+

1

4

＞0且m-1＞0，
∴m＜3，且m＞1，…（12分）
又∵△≥0，
∴2≤m＜3．…（14分）

点评：本题以方程为载体，考查韦达定理的运用，考查学生等价转化问题的能力，解题的关键是将x₁、x₂都大于

1

2

，转化为（x₁-

1

2

）（x₂-

1

2

）＞0且（x₁-

1

2

）+（x₂-

1

2

）＞0．