Question

【题目】已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在实数,对于定义域内的任意均有成立,称数对为函数的“伴随数对”.

(1)判断是否属于集合,并说明理由;

(2)若函数,求满足条件的函数的所有“伴随数对”;

(3)若,都是函数的“伴随数对”,当时,;当时,.求当时,函数的零点.

Answer 1

【答案】(1)是,理由见解析;(2)和,;(3)2014,2015,2016.

【解析】

（1）由题意可得，即为对成立,写出需满足条件求解即可（2）由题意可得，化简得对任意的都成立，转化为|cos2a|=1，即可求解（3）由（2）可得函数的周期为4，求出函数在上的解析式，即可求出当时,函数的解析式，即可求解.

(1)由及,可得

,即为对成立,

需满足条件,解得,故,存在,

所以.

(2)由得:,

,

所以,

对任意的都成立,只有,

即,由于(当且仅当时,等号成立),

所以,又因为,故.

其中时,,,;

时,,,.

故函数的“伴随数对”为和,.

(3)因为,都是函数的“伴随数对”,

所以且,于是,

故函数是以4为周期的函数.

若,则,此时,

若,则,此时,

若,则,此时,

,故.

当时,函数的零点分别为2014,2015,2016.