Question

（2013•长宁区一模）已知二次函数f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）关于x不等式

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=f（x）+

1-(a-1)x2

x

在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分a＞0，a＜0两种情况求出二次函数f（x）的增区间，使（-∞，-1）为增区间的子集即可；
（2）

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于在[1，2]上

f(x)

x

的最小值大于等于2，利用导数即可求得其最小值；
（3）设2＜x₁＜x₂＜3，则g（x₁）＜g（x₂）恒成立，分离出参数a后转化为求函数最值即可解决；

解答：解：显然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增区间为-

|a-1|

2a

，+∞），而函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，不符合题意；
若a＜0，则f（x）=ax²+（1-a）x+a，其增区间为（-∞，-

1-a

2a

）．
又f（x）在（-∞，-1）上单调递增，所以有-

1-a

2a

≥-1，解得a≤

1

3

，
故a＜0，所以实数a的取值范围为：a＜0．
（2）

f(x)

x

≥2即ax+

a

x

+|a-1|≥2，令g（x）=ax+

a

x

+|a-1|，
则

f(x)

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于g_min（x）≥2，
g′（x）=a-

a

x2

=

a(x+1)(x-1)

x2

，
①当a＞0时，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
g_min（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②当a＜0时，g′（x）≤0，此时g（x）在[1，2]上递减，
g_min（x）=g（2）=2a+

a

2

+|a-1|=

3

2

a+1≥2，解得a≥

2

3

，（舍）
综上，实数a的取值范围为a≥1．
（3）g（x）=ax²+

1

x

+a在（2，3）上是增函数，
设2＜x₁＜x₂＜3，则g（x₁）＜g（x₂），
ax12+

1

x1

+a＜ax22+

1

x2

+a，a（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜

x1-x2

x1x2

，
因为2＜x₁＜x₂＜3，所以a＞

1

x1x2(x1+x2)

，
而

1

x1x2(x1+x2)

∈（

1

54

，

1

16

），
所以a≥

1

16

．

点评：本题考查二次函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．