Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，则a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[﹣3，﹣2+ ]
【解析】解：∵存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0， ∴fmin（x）≤0，x∈[﹣1，1]．
当x≤a时，f（x）=（x﹣a）（a﹣x）+x2+2a+1=2ax﹣a2+2a+1，
∴f（x）在（﹣∞，a]上单调递减；
当a＜x＜0时，f（x）=（x﹣a）2+x2+2a+1=2x2﹣2ax+a2+2a+1，
∴f（x）在（a， ）上单调递减，在（ ，0）上单调递增；
当x≥0时，f（x）=（x﹣a）2﹣x2+2a+1=﹣2ax+a2+2a+1，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（i）若 ﹣1，即a≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
∴fmin（x）=f（﹣1）=a2+4a+3≤0，
解得﹣3≤a≤﹣1，∴﹣3≤a≤﹣2；
（ii）若 ，即﹣2＜a＜0时，f（x）在[﹣1， ]上单调递减，在（ ，1]上单调递增，
∴fmin（x）=f（ ）= +2a+1≤0，
解得﹣2﹣ ≤a≤﹣2+ ，∴﹣2＜a≤﹣2+ ．
综上，a的取值范围是[﹣3，﹣2+ ]．
所以答案是：[﹣3，﹣2+ ]．