【题目】图1是由边长为4的正六边形,矩形,组成的一个平面图形,将其沿,折起得几何体,使得,且平面平面,如图2.
(1)证明:图2中,平面平面;
(2)设点M为图2中线段上一点,且,若直线平面,求图2中的直线与平面所成角的正弦值
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)要证平面平面,只需证平面,只需证且,要证,只需证平面,只需证,.根据直线与平面垂直的判定与性质和平面与平面垂直的判定定理即可证得;
(2)连接与交于点N,连接,利用线面平行的性质定理得到,得到,再以,,分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
(1)证明:因为为矩形,所以,又,,
所以平面,故,
因为为正六边形,所以,
故,所以,即,
又因为,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)解:连接与交于点N,连接,因为平面,且平面平面,
所以,所以,所以,所以,
由(1)知;,平面,故以,,分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图:
,, ,,
所以,,,
设为平面的一个法向量,
则,取,则,,所以,
设直线与平面所成角为,
所以,
即直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】已知曲线,把上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,关于有下述四个结论:
(1)函数在上是减函数;
(2)方程在内有2个根;
(3)函数(其中)的最小值为;
(4)当,且时,,则.
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知函数(k为常数,且).
(1)在下列条件中选择一个________使数列是等比数列,说明理由;
①数列是首项为2,公比为2的等比数列;
②数列是首项为4,公差为2的等差数列;
③数列是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.
(2)在(1)的条件下,当时,设,求数列的前n项和.
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【题目】广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划,开展了试卷讲评后效果的调研,从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题,重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”,出了错误的同学为“不过关”,现随机抽查了年级人,他们的测试成绩的频数分布如下表:
市一诊分数段 | |||||
人数 | 5 | 10 | 15 | 13 | 7 |
“过关”人数 | 1 | 3 | 8 | 8 | 6 |
(1)由以上统计数据完成如下列联表,并判断是否有的把握认为市一诊数学成绩不低于分与测试“过关”有关?说明你的理由;
分数低于分人数 | 分数不低于分人数 | 合计 | |
“过关”人数 | |||
“不过关”人数 | |||
合计 |
(2)根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.
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【题目】在直角坐标系.xOy中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)已知曲线C2的极坐标方程为,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求α的值.
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【题目】
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(a为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点,l和C交于A,B两点,求.
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