Question

已知双曲线C：的一个焦点是F₂（2，0），且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据半焦距c和a与b的关系联立方程求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）把直线l与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围．设A，B的坐标，则可知其中点的坐标，代入曲线3（x-1）²-y²=3等式成立，可判断出AB的中点在此曲线上．
（3）设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据判断出x₁x₂+y₁y₂＞0，根据（2）中求得x₁x₂的表达式，进而可去知y₁y₂的表达式，进而求得根据x₁x₂+y₁y₂＞0求得m的范围，结果与m²＞3矛盾，假设不成立，判断出这样的实数不存在．
解答：解：（1）c=2c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，∴双曲线为．
（2）l：m（x-2）+y=0由得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞012m²+9-3m²＞0即m²+1＞0恒成立


∴m²＞3∴
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∴
∵
∴M在曲线3（x-1）²-y²=3上．

（3）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
因为y₁y₂=（-mx₁+2m）（-mx₂+2m）=m²x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²
∴（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²＞0
∴（1+m²）（4m²+3）-8m⁴+4m²（m²-3）＞0即7m²+3-12m²＞0
∴，与m²＞3矛盾
∴不存在
点评：本题主要考查了双曲线的应用，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．