Question

附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：先假设存在这样的二次函数，设出二次函数的解析式，根据所给的三对数值，写出关于a，b，c的方程组，利用待定系数法得到结果，后面进行证明．
解答：解：存在符合条件的二次函数．
设f（x）=ax²+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=，b=2，c=0．
于是，f（x）=x²+2x．
下面证明二次函数f（x）=x²+2x符合条件．
因为=5（1+10+100++10^k-1）=（10^k-1），
同理：=（10^2k-1）；
=f（（10^k-1））=+2×（10^k-1）
=（10^k-1）²+2×（10^k-1）=（10^k-1）（10^k+1）=（10^2k-1）=
∴所求的二次函数 f（x）=x²+2x符合条件．
点评：本题考查二次函数的性质，考查利用待定系数法求函数的解析式，注意在解题过程中所给的数据虽然大，但是规律性很强，注意应用．