Question

长度为(>0)的线段AB的两个端点A、B分别在轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且满足(A为常数，且)．

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)当时，过点M(1，0)作两条互相垂直的直线和，和分别与曲线C相交于点N和Q(N、Q都异于点M)，试问△MNQ能不能是等腰三角形?若能，请说明这样的三角形有几个；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：(1)依题意，设点A、B的坐标分别为(，0)、(0，)，点P的坐标为()．

    由，得)

                               =()．

    ∴  即

∵|AB|=，∴．

∴，

∴点P的轨迹方程C是．

(2)当时，曲线C的方程是，故点M(1，0)在曲线C上．

依题意，可知直线和都不可能与坐标轴平行，可设直线方程为，

直线方程为，不妨设．

由消去y得

    ．

由，又，得，

    ∴

           =

           =．

    同理可得

                 =．

    假设△MNQ是等腰三角形，则|MN|=|MQ|，

    即，

化简得，

∴或    ①

①式的判别式△=，

若△=，解得，此时①式无解；

若△==0，解得，由①式得=1；

若△=>0，解得，由①式得

    (可以验证≠1且>0)．

综上所述，△MNQ可以是等腰三角形，当0<≤时，这样的三角形有一个；

当时，这样的三角形有三个．