Question

【题目】如图，已知过点的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．

①求直线PA与PB的斜率之积；

②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)1．(2) ① ．②平行．理由见解析

【解析】

（1）离心率值转化为关系，再把点坐标代入方程，即可求出椭圆标准方程；

（2）①求出方程，设出点坐标，可求出直线PA与PB的斜率之积；

②求出直线方程，分别与椭圆方程联立，求出两点坐标，代入斜率公式，求出直线的斜率，然后再判断与直线是否平行.

（1）∵椭圆过点D（，）,且离心率为

∴，

∴椭圆的方程为1．

（2）①由（1）知A（﹣2，0），B（0，1），

直线OD方程为y，

点P在直线OD上，设P（﹣2y0，y0），

kPAkPB．

②设E（x1，y1），Q（x2，y2），

联立直线AP：y与椭圆的方程得，

（2y02﹣2y0+1）x2+4y02x+8y0﹣4＝0，

∴﹣2+x1，

∴x1，y1，

联立直线BP：y与椭圆的方程得，

，

∴x2，y2，

∴

又因为kAB，∴kAB＝kEQ，

∴直线AB与EQ是平行．