Question

如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．

(1)求∠ADF的度数；
(2)AB＝AC，求AC∶BC．

Answer 1

(1) ∠ADF＝45°; (2) AC∶BC＝．

解析试题分析：(1)由弦切角与角平分线，三角形的外角可得∠ADF＝∠AFD，BE为直径∠DAE＝90°，则可得∠ADF＝45°；(2)由△ACE∽△BCA得，在中可得比值．
解(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC,
又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB,
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD,
即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝ (180°－∠DAE)＝45°．         5分
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴在中，＝tan∠B＝tan 30°＝．        10分
考点：弦切角，三角形的相似的性质与判定．