Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；

（2）已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）C1的直角坐标方程为；C2的直角坐标方程为；（2）．

【解析】

（1）由（为参数），消去参数，可得曲线C1的直角坐标方程．由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的直角坐标方程；

（2）由P为曲线C2上的动点，设P（2cosα，sinα），则P与圆的圆心的距离，利用二次函数求最值，再由勾股定理求|PA|的最大值．

解：（1）由（为参数），消去参数，可得．

∴曲线C1的直角坐标方程为；

由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，

即x2+y2+3y2＝4，即．

∴曲线C2的直角坐标方程为；

（2）∵P为曲线C2上的动点，又曲线C2的参数方程为

∴设P（2cosα，sinα），

则P与圆C1的圆心的距离

．

要使|PA|的最大值，则d最大，当sinα时，d有最大值为．

∴|PA|的最大值为．