Question

（理科）已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n²=2 -bn设C_n=

bn

an

求数列{C_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用条件确定数列是等比数列，然后利用等比数列的性质确定数列的通项公式．
（2）求出数列{C_n}的通项公式然后利用错误相减法求{C_n}前n项和T_n．

解答：解：因为点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0，
所以2an-Sn-

1

2

=0，即2an=Sn+

1

2

，an＞0，
当n=1时，2a1=a1+

1

2

，即a1=

1

2

．
当n≥2时，2an=Sn+

1

2

=0，2an-1=Sn-1+

1

2

，
两式相减得2a_n-2a_n-1=a_n，整理得：

an

an-1

=2，
所以数列{a_n}是

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
所以an=

1

2

?2n-1=2n-2  …（5分）
（2）

a

2 n

=2-bn=22n-4，所以b_n=4-2n，Cn=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

，
所以Tn=

8

2

+

0

22

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

，①

1

2

Tn=

8

22

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

   ②
①-②得

1

2

Tn=4-8(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

16-8n

2n+1

=4-8

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

16-8n

2n+1

=4-4(1-

1

2n-1

)-

16-8n

2n+1

=

4n

2n

，
所以Tn=

8n

2n

…（14分）

点评：本题主要考查数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的前n项和．考查学生的运算能力．