练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    将正整数2012表示成n个正整数x1，x2，x3，…xn之和．记s=
    1≤i＜j≤n
    xi•xj    ．
    （I）当n=2时，x1，x2取何值时s有最大值．
    （II）当n=5时，x1，x2，x3，x4，x5分别取何值时，s取得最大值，并说明理由．
    （III）设对任意的1≤i＜j≤5且|xi-xj|≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取得最小值，并说明理由．
    分析：（ I）根据 x1+x2=2012，利用均值不等式，求得当x1=x2=1006时，S有最大值10062．
    （ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．理由：x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．
    再由这5个数都是正整数，可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5），从而得到结论．
    （ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，存在三种情况．分析可得，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；或 ③x1=x2=x3=x4=402，
    x5=404时，S取得最小值．
    解答：解：（ I）根据 x1+x2=2012，利用均值不等式，可得当x1=x2=1006时，S有最大值10062．--------（2分）
    （ II）当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．------（4分）
    由x1+x2+x3+x4+x5=2012，利用基本不等式可得当这5个数相等时，S取得最大值．再由这5个数都是正整数，
    可得S取得最大值时，必有|xi-xj|≤1（ 1≤i＜j≤5）．-----（8分）
    因此当x1=x2=x3=402，x4=x5=403时，S取得最大值．
    （ III）由x1+x2+x3+x4+x5=2012且|xi-xj|≤2，只有①x1=401，x2=402，x3=x4=x5=403；
    ②x1=x2=x3=402，x4=x5=403； ③x1=x2=x3=x4=402，x5=404；三种情况．--------（11分）
    而在②时，根据（2）知原式取得最大值；
    在①时，设t=402，s=
    1≤i＜j≤5
    xi•xj    =10t2+8t，
    在③时，设t=402，s=
    1≤i＜j≤5
    xi•xj    =10t2+8t．
    因此在①③时S取得最小值．--------（13分）
    点评：本题主要考查绝对值不等式、基本不等式的应用，求函数的最值，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•朝阳区一模）已知各项均为非负整数的数列A0：a0，a1，…，an（n∈N*），满足a0=0，a1+…+an=n．若存在最小的正整数k，使得ak=k（k≥1），则可定义变换T，变换T将数列A0变为T（A0）：a0+1，a1+1，…，ak-1+1，0，ak+1，…，an．设Ai+1=T（Ai），i=0，1，2…．
    （Ⅰ）若数列A0：0，1，1，3，0，0，试写出数列A5；若数列A4：4，0，0，0，0，试写出数列A0；
    （Ⅱ）证明存在数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n，
    0，0，…，0
    n个
    ；
    （Ⅲ）若数列A0经过有限次T变换，可变为数列n，
    0，0，…，0
    n个
    ．设Sm=am+am+1+…+an，m=1，2，…，n，求证am=Sm-[
    Sm
    m+1
    ](m+1)    ，其中[
    Sm
    m+1
    ]    表示不超过
    Sm
    m+1
    的最大整数．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•海淀区二模）将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap（p∈N*）的形式，其中ai∈N*，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤…≤ap，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
    （Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
    （Ⅱ）对任意正整数n，比较f（n+1）与
    12
    [f(n)+f(n+2)]    的大小，并给出证明；
    （Ⅲ）当正整数n≥6时，求证：f（n）≥4n-13．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•海淀区二模）将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap（p∈N*）的形式，其中ai∈N*，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤…≤ap，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
    （Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
    （Ⅱ）证明：f（n+1）-f（n）≥1（n=1，2，…）；
    （Ⅲ）对任意正整数n，比较f（n+1）与
    12
    [f(n)+f(n+2)]    的大小，并给出证明．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案