Question

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

Answer 1

(1)见解析   (2)

(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,
所以AC²=AO²+CO²,所以AO⊥CO.
又AO⊥BD,BD∩CO=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0,,0),
C(,0,0),B(0,-,0).
设A(x₀,0,z₀)(x₀<0),
则=(x₀,0,z₀),=(0,,0).
平面ABD的一个法向量为n=(z₀,0,-x₀).
平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,
所以|cos<m,n>|=|cos120°|=,得=3.
因为OA=,所以=.解得x₀=-,z₀=.所以A(-,0,).
平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).
设二面角A-BC-D的平面角为θ,
所以cosθ=|cos<l,m>|=||=.
所以tanθ=.
所以二面角A-BC-D的正切值为.
方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.
如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH?平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK?平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.
在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.
在Rt△CHK中,HK==,
在Rt△AHK中,tan∠AKH===.
所以二面角A-BC-D的正切值为.