【题目】已知：集合
，其中
．
，称
为
的第
个坐标分量．若
，且满足如下两条性质：
①
中元素个数不少于
个．
②
，
，
，存在
，使得，，
的第
个坐标分量都是
．则称为
的一个好子集．
（）若
为
的一个好子集，且
，
，写出，
．
（
）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过
．
（
）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个
，使得中所有元素的第
个坐标分量都是．
【答案】(1) 
，
．
(2) 证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】分析：（1）根据好子集的定义直接写出Z，W；
（2）若S为
的一个好子集，考虑元素
，进行判断证明即可；
（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.
详解：（
）
，
．
（
）对于
，考虑元素；
显然
，
，
，
，对于任意的
，
，
，
不可能都为，
可得
，不可能都是好子集
中．
又因为取定，则一定存在且唯一，而且
，
由
的定义知道，，
,
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为
，所以中元素个数不超过
．
（
）
，
，定义元素，的乘积为
，显然
．
我们证明“对任意的
，
都有
．”
假设存在，
使得
，则由（）知，
．
此时，对于任意的
，
，
，
不可能同时为，矛盾，所以．
因为中只有个元素，我们记
为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道
，
显然这个元素的坐标分量不能都为
，不妨设
，
根据
的定义，可以知道中所有元素的
坐标分量都为．
下面再证明的唯一性：
若还有
，即中所有元素的
坐标分量都为．
所以此时集合中元素个数至多为
个，矛盾．
所以结论成立．
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【题目】如图，四边形
是边长为
的正方形， 
平面
， 
，且
， 
．
（I）求证： 
平面
．
（II）求
与平面
所成角的正弦值．
（III）
为直线
上一点，且平面
平面
，求
的值．
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【题目】已知数列
的首项为
，前
项和为
与
之间满足
，
（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列
的通项公式；
（Ⅲ）设存在正整数
，使
对一切
都成立，求
的最大值.
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【题目】已知
，命题
椭圆C1： 
表示的是焦点在
轴上的椭圆，命题
对
，直线
与椭圆C2： 
恒有公共点.
（1）若命题“
”是假命题，命题“
”是真命题，求实数
的取值范围.
（2）若
真
假时，求椭圆C1、椭圆C2的上焦点之间的距离d的范围。
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【题目】若定义在
上的函数
，其图象是连续不断的，且存在常数
使得
对任意的实数
都成立，则称是一个“
特征函数”则下列结论中正确的个数为（ ）．
①
是常数函数中唯一的“特征函数”；
②
不是“特征函数”；
③“
特征函数”至少有一个零点；
④
是一个“特征函数”；．
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】已知
，
是平面，
，
是直线，给出下列命题：
①若
，
，则
；
②若
，
，
，
，则
；
③如果，
，，是异面直线，则与相交；
④若
．
，且，
，则
，且
其中正确确命题的序号是_____（把正确命题的序号都填上）
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【题目】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.
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