Question

如图，已知正四棱锥R－ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心．求：

(1)异面直线PQ与BR所成的角；

(2)直线PQ与底面ABCD所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解：以正四棱锥的底面中心O为原点，过O平行于AD的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图． 　　则R(0，0，6)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)， 　　∵P是RO的中点，Q是△RBC的重心， 　∴P(0，0，3)，Q(0，，2)． 　　(1)＝(0，，－1)，＝(－2，－2，6)， 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴异面直线PQ与BR所成的角为arccos． 　　(2)方法一：∵RQ⊥底面ABCD， 　　∴RE在底面的射影为OE． 　　∵Q∈RE，∴Q在底面上的射影在OE上． 　　∴PQ在底面上的射影为OE． 　　∴∠REO为PQ与底面ABCD所成的角． 　　∵E(0，2，0)，∴＝(0，2，0)． 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴直线PQ与底面ABCD所成的角是arccos． 　　方法二：平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 　　∴cos〈，n〉＝． 　　∵〈，n〉为钝角，∴PQ与平面ABCD所成的角为〈，n〉补角的余角．∴PQ与平面ABCD所成的角为．

提示：

本题考查了异面直线所成的角和直线与平面所成角的求法．通常有两种方法：(1)“找→求”的常规法；(2)向量法．