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    如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是AC与BD的交点，M是CC1的中点．
    （1）求证：A1P⊥平面MBD；
    （2）求直线B1M与平面MBD所成角的正弦值；
    （3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
    （1）证明：如图，以D为坐标原点，向量
    DA
    ，
    DC
    ，
    DD1
    为单位正交基向量，
    建立空间直角坐标系D-xyz．则P（
    1
    2
    ，
    1
    2
    ，0），M（0，1，
    1
    2
    ）．
    A1P
    =（-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ，-1），
    DB
    =（1，1，0），
    DM
    =（0，1，
    1
    2
    ），所以
    A1p•
    DB
    =0，
    A1p•
    DM
    =0．
    所以
    A1p
    ⊥
    DB
    ，
    A1p
    ⊥
    DM

    又因为BD∩DM=D，所以A1P⊥平面MBD；
    （2）由（1）可知，可取
    n
    =（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
    又
    .
    B1M
    =（-1，0，-
    1
    2
    ），
    所以cos＜
    n
    ，
    AM
    ＞=-
    2
    		5
    5

    所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为
    2
    		5
    5
    ．
    （3）
    AB
    =（0，1，0），
    BM
    =（-1，0，
    1
    2
    ）．
    设
    n
    1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
    n1•
    AB
    =0
    n1•
    BM
    =0

    解得
    y=0
    -x+
    1
    2
    z=0
    即
    y=0
    z=2x
    ，故可取
    n
    1=（1，0，2）．
    由（1）可知，可取
    n
    =（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
    所以cos＜
    n
    ，
    n
    1＞=
    1+4
    		5
    ×
    		6
    =
    		30
    6
    ．
    所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为
    		30
    6
    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
    （1）求证：BE∥平面PAD；
    （2）求证：BE⊥CD；
    （3）求BD与平面PDC所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是______．（把你认为正确的结论都填上）
    ①BD∥平面CB1D1；
    ②AC1⊥平面CB1D1；
    ③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
    		2
    ；
    ④二面角C-B1D1-C1的正切值是
    		2
    ；
    ⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    一个四棱锥的三视图如图所示．

    （1）求这个四棱锥的全面积及体积；
    （2）求证：PA⊥BD；
    （3）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求
    |DQ|
    |DP|
    的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ，则θ的取值范围是（　　）
    A．（0，
    π
    2
    ）    		B．（
    π
    3
    ，
    π
    2
    ）    		C．（
    π
    4
    ，
    π
    3
    ）    		D．（
    π
    2
    ，π）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
    （1）求证：MN⊥AB；
    （2）求二面角P-CD-A的大小；
    （3）求三棱锥D-AMN的体积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为（　　）
    A．
    		3
    4
    a2    		B．
    		3
    3
    a2    		C．
    1
    3
    a2    		D．
    3
    8
    a2

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．
    求：
    （1）D1E与平面BC1D所成角的正弦值；
    （2）二面角D-BC1-C的余弦值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
    π
    2
    ，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
    （1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
    （2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
    （3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

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