Question

【题目】如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；

（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据圆的方程求出圆与坐标轴的交点坐标，再根据题意，即可求出椭圆方程；

（2）先由椭圆方程，设，根据两点间距离公式，先求出点到圆圆心的距离，根据圆的特征，得到（其中为圆的半径），即可求出结果；

（3）先设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到其中点坐标为；再由题意，得到，推出，求出与的关系式，进而可求出结果.

（1）因为圆：，令，则或，所以圆与轴正半轴的交点为；

令，则，即圆与轴的两个交点为，

因为椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点，所以，

即椭圆的方程为：；

（2）由（1）可设，

则点到圆的圆心的距离为：

，

当且仅当时，等号成立；

又点为圆上的动点，由圆的性质可得：

（其中为圆的半径）；

（3）设，，直线的方程为，

由消去得，

整理得：，

所以，所以，

所以中点的坐标为：；

因为直线交圆于点，，且，

因此也是的中点；

根据圆的性质可得：，

所以，即，整理得，

所以，因此点在定直线上.