Question

已知P是直线3x-4y+11=0上的动点，PA、PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为

3

．

Answer 1

分析：由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．

解答：解：∵圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圆心C（1，1），半径r=1．
根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小．
∵圆心到直线的距离为d=

|3-4+11|

9+16

=2∴PA=PB=

d2-r 2

=

3

．
故四边形PACB面积的最小值为 2S_△PAC=2×

1

2

×PA×r=

3

，
故答案为

3

．

点评：本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题．