Question

已知为函数图象上一点，为坐标原点，记直线的斜率．
（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（2）当 时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力和思维的严谨性.第一问，考查求导求极值问题；第二问，是恒成立问题，将第一问的代入，整理表达式，得出，构造函数，下面的主要任务是求出函数的最小值，所以；第三问，是不等式的证明，先利用放缩法构造出所证不等式的形式，构造数列，利用累加法得到所证不等式的左边，右边利用裂项相消法求和，再次利用放缩法得到结论.
试题解析：（1）由题意，,所以       2分
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以，得．即实数的取值范围是．        4分
（2）由得，令，
则．                           6分
令，则，
因为所以,故在上单调递增．        8分
所以,从而
在上单调递增,
所以实数的取值范围是．                    10分
（3）由(2) 知恒成立,
即         12分
令则，        14分
所以， ，  ,．
将以上个式子相加得：，
故．               16分