Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0).

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）≥0的对任意x属于一切实数成立，求F（x）的表达式；
（2）在 （1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（-1）=0，可得b与a关系，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，根据二次函数的性质，即可得到关于a和b的不等关系，从而求得a和b的值，即可得F（x）的表达式；
（2）由（1）中可得f（x）的解析式，从而求得g（x）的解析式，根据二次函数的性质可知，当对称轴在区间两侧的时候，函数f（x）为单调函数，可以得到2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，求解即可求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）由题意，函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，即b=a+1，
∵函数f（x）≥0对任意x属于一切实数恒成立，即ax²+bx+1≥0对x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

，
∵b=a+1，
∴

a＞0 (a+1)2-4a=(a-1)2≤0

，
∴a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1(x＞0) -x2-2x-1(x＜0)

；
（2）由（1）可知，f（x）=x²+2x+1，
∵g（x）=f（x）-kx，
∴g（x）=x²+（2-k）x+1=(x-

k-2

2

)2+1-

(k-2)2

4

，
∵对称轴为x=

k-2

2

，函数g（x）的图象开口向上，
∴g（x）在（-∞，

k-2

2

]上是单调递减函数，在[

k-2

2

，+∞）上是单调递增函数，
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]?（-∞，

k-2

2

]或[-2，2]?[

k-2

2

，+∞），
∴2≤

k-2

2

或

k-2

2

≤-2，解得k≥6或k≤-2，
∴实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评：本题考查了函数单调性的性质，分段函数解析式的求法．本题重点考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．