Question

（1）已知tanα=2，求2sin²α-3sinαcosα-2cos²α的值．
（2）已知-

π

2

＜x＜0，sinx+cosx=

1

5

，求

1

1+sinx

+

1

1+cosx

和sinx-cosx的值．

Answer 1

分析：（1）利用“1“的代换，把分母的“1”换为平方关系，利用齐次式同除cos²α，得到关于tanα的表达式，即可求解．
（2）通过已知条件求出sinxcosx，

1

1+sinx

+

1

1+cosx

同分后，整体代入求解即可；根据角的范围，利用平方化简，求出sinx-cosx的值．

解答：解：（1）∵tanα=2
∴原式=

2sin2α-3sinαcosα-2cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-3tanα-2

1+tan2α

=

8-6-2

1+4

=0
（2）∵sinx+cosx=

1

5

∴sinx•cosx=-

12

25

∴原式=

2+sinx+cosx

1+(sinx+cosx)+sinx•cosx

=

2+ 1 5

1+ 1 5 - 12 25

=

55

18

而(sinx-cosx)2=

49

25

∵-

π

2

＜x＜0∴sinx-cosx＜0∴sinx-cosx=-

7

5

点评：本题是基础题，（1）是数学模型，固定格式的解题方法；（2）体现整体数学思想，根据角的范围估计三角函数值的范围，是三角函数的一个特色，是易错点，常考点．