Question

【题目】已知为坐标原点， 是椭圆上的点，设动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）设点，,则由 ，得，利用“逆代法”可得动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线,联立可得，，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式将面积用 表示，利用基本不等式 即可得结.

试题解析：（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故，即动点的轨迹的方程为.

（2）由曲线与直线联立得，消得，因为直线与曲线交于， 两点，所以，又，所以.

设， ，则， ，因为点到直线： 的距离， ，所以 ，，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.

【方法点晴】本题主要考查逆代法求曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最大值的.