Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证: 当时，.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y＝f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；

（Ⅱ）法一：，令f'（x）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明，，，设，其中x＞2，利用导函数转化求解即可；

法二：设，其中x＞0，，推出F（x）在区间（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F（x）在x＝2时取得最小值，而，推出结果即可；

法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证“x＞0时，2ex+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2ex+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2ex﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2ex﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．

（Ⅰ）因为

所以

当时，

所以，而

曲线在处的切线方程为

（Ⅱ）法一：

因为，令

得

显然当时，

所以，，在区间上的变化情况如下表:

		0
		极小值

所以在区间上单调递减，在单调递增，

所以在上的最小值为，所以只需证明

因为，所以

设，其中

所以

当时，，所以在区间单调递增，

因为 ，所以，问题得证

法二：

因为，所以当时，

设，其中

所以

所以，，的变化情况如下表:

		0
		极小值

所以在区间上单调递减，在上单调递增，

所以函数在时取得最小值，而

所以时

所以，问题得证

法三：

因为“对任意的，”等价于“对任意的，”

即“，”，故只需证“时，”

设，其中

所以

设，,

令，得

所以，，的变化情况如下表:

		0
		极小值

所以在处取得极小值，而

所以

所以时，，所以在上单调递增，得

而，所以 问题得证