Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+acosx+x在点x= 处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[﹣ ， ]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x+acosx+x，

f′（x）=2cos2x﹣asinx+1，

f′（ ）=2cos ﹣asin +1=0，

解得：a=4

（2）解：由（1）得：f（x）=sin2x+4cosx+x，

f′（x）=2cos2x﹣4sinx+1=2﹣4sin2x﹣4sinx+1=﹣（2sinx+1）2+4，

令f′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜ 或 ＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，

∴f（x）在[﹣ ， ）递增，在（ ， ）递减，在（ ， ）递增，

∴f（x）的最大值是f（ ）或f（ ），

而f（ ）= ﹣2+ ＜f（ ）= + ，

故f（x）的最大值是f（ ）= +

【解析】（1）求出函数的导数，根据f′（ ）=0，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．