Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

2

，AB=1，AD=2，E为BC的中点
（1）求证：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（2）求点A到面A₁DE的距离；
（3）设△A₁DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得

AM

=λ

AD

且MG⊥平面A₁DE同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的判定定理证明；
（2）由题意求出AE、DE的长度，由勾股定理得到AE和DE垂直，再由几何体为长方体得到DE⊥AA₁，从而得到平面A₁AE⊥平面A₁ED，取A₁E的中点H后连结AH，得到AH的长度为点A到面A₁DE的距离，然后在直角三角形A₁AE中求解即可；
（3）过G作GM∥AH交AD于M，由AH⊥面A₁DE得到MG⊥面A₁DE，再利用重心的性质及平行线截线段成比例定理得到λ的值．

解答：解：（1）在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，∴AE⊥DE
∵A₁A⊥平面ABCD，
所以AA₁⊥DE，又因为AA₁∩AE=A，
所以DE⊥面A₁AE，
又DE?平面A₁DE，
所以平面A₁DE⊥平面A₁AE．
（2）由题意求得AE=

2

，DE=

2

，
又AD=2，∴AE²+ED²=AD²，
∴AE⊥DE．
又DE⊥AA₁，AA₁∩AE=A，AA₁?面A₁AE，AE?面A₁AE，
∴DE⊥面A₁AE，∴平面A₁AE⊥平面A₁ED，
∵A1A=AE=

2

，
取A₁E的中点H，AH⊥A₁E，AH⊥DE，A₁E∩ED=E，A₁E?面A₁DE，
 ED?面A₁DE，
∴AH⊥面A₁DE，
AH为点A到面A₁DE的距离．
∵AH=1，∴点A到面A₁DE的距离为1
（3）在三角形A₁ED中，∵H是A₁E的中点，G为三角形A₁ED的重心，
又∵AH⊥面A₁ED，过点G作GM∥AH交AD于M，
则MG⊥A₁ED，且AM=

1

3

AD，
故存在实数λ=

1

3

，使得

AM

=λ

AD

，且MG⊥平面A₁ED同时成立．

点评：本题考查了面面垂直的判定定理，考查了点线面间距离的计算，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了三角形重心的性质，是中档题．