Question

建筑一个容积为8000 m³、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元/米²，池底造价为2a元/米²，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为

 

，定义域为

 

．底边长为

 

m时总造价最低是

 

元．

Answer 1

分析：设池底一边长x（m），其邻边长为

8000

6x

（m），由面积公式算出池底的面积，由题意建立蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系，因在函数关系式中出现了积为定值的形式，故可以用基本不等式求最值．

解答：解：设池底一边长x（m），则其邻边长为

8000

6x

（m），池壁面积为2•6•x+2•6•

8000

6x

=12（x+

8000

6x

）（m²），池底面积为x•

8000

6x

=

8000

6

（m²），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为
y=12a（x+

8000

6x

）+

8000

3

a．定义域为（0，+∞）．
x+

8000

6x

≥2

x• 8000 6x

=

40

3

30

（当且仅当x=

8000

6x

即x=

20

3

30

时取“=”）．
∴当底边长为

20

3

30

m时造价最低，最低造价为（160

30

a+

8000

3

a）元．
故应填：y=12a（x+

8000

6x

）+

8000

3

a，（0，+∞），

20

3

30

，160

30

a+

8000

3

a．

点评：本题考点是基本不等式求最值，其特点是先根据题设中的条件建立起函数关系，再观察函数的形式得出求造价最低的方法．