Question

如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.

(Ⅰ)证明:平面平面；
(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

试题分析：(Ⅰ)证明面面垂直问题转化为证明线面垂直问题，即某一个平面中的某条直线垂直于另一个平面.然后将线面垂直问题转化为线线垂直问题，即该直线与平面中的两条相交直线垂直.在本题中，我们选取的是平面中的直线，因为易知，那么只需要在平面再找一条直线垂直于即可.因为底面是平行四边形,且,,,为的中点，所以可以证，从而得证；(Ⅱ)求异面直线所成角，一般将两条异面直线平移到一个公共点上以便求出其夹角.这里，我们选择将直线平移至点，所以需要取的中点,连接，易知即所求，将其放在求出余弦值.(Ⅲ)二面角的余弦值可以通过建立空间直角坐标系用向量来解决.其中前两问又可以用向量来解决.第一问的面面垂直可以用两个平面的法向量垂直来证明，即法向量的数量积为0，第二问用向量的夹角公式直接解出（需注意异面直线角的范围）.二面角同样可以用两个半平面的法向量的夹角解决，不过这里要注意所求的二面角是锐角还是钝角，从而选择是法向量夹角还是其补角为所求.
试题解析：(Ⅰ)依题意,,
所以是正三角形,
又 
所以,     2分
因为平面,平面,所以     3分
因为,所以平面     4分
因为平面,所以平面平面      5分
(Ⅱ)取的中点,连接、,连接,则
所以是异面直线与所成的角      7分
因为,,
所以,, 
所以     9分
解法2：以为原点，过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立右手空间直角坐标系.

设
则，，
(Ⅰ)设平面的一个法向量为，
则
，取，则，从而，
同理可得平面的一个法向量为，
直接计算知，所以平面平面.
(Ⅱ)由即       
解得                                                        
, 
所以异面直线与所成角的余弦值
 
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为 
又,设平面的法向量则得     11分
设二面角的平面角为,且为锐角
则     13分
所以二面角的余弦值为     14分