Question

已知：函数f（x）=x+2a（a∈R），且不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）
（1）求：实数a的值；
（2）求：不等式的解集．
（3）解关于x的不等式：x•f（x）+m＞0（m∈R）

Answer 1

解：（1）f²（x）＜4?x²+4ax+4a²-4＜0，（2分）
∵不等式f²（x）＜4的解集是（2，6），∴．（4分）
（2）∵由上可知 f（x）=x-4，∴，（5分）∴x≤0或x＞4，
∴不等式的解集：（-∞，0]∪（4，+∞）．（7分）
（3）x•f（x）+m＞0即为x²-4x+m＞0，△=16-4m．
①当m＞4时，△=16-4m＜0，x∈R，即此时不等式的解集为R．
②当m=4时，△=16-4m=0，x≠2，即此时不等式的解集为{x|x≠2 }．
③当m＜4时，或，
即此时不等式的解集为{x|x＜2-，或 }．（10分）
分析：（1）f²（x）＜4 等价于 x²+4ax+4a²-4＜0，根据不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）可得，
解方程求得实数a的值．
（2）由上可知 f（x）=x-4，可得，从而求得x的范围，即为所求．
（3）不等式即x²-4x+m＞0，△=16-4m，结合对应的二次函数的图象分△大于0、等于0、小于0三种情况分别求出
不等式的解集．
点评：本题考查一元二次不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想．