Question

【题目】已知、、是函数的三个极值点,且,有下列四个关于函数的结论:①；②；③；④恒成立,其中正确的序号为__________．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】解答：

f′(x)=,(x>0),记g(x)=kx,g′(x)=k

当k1时,则有x>0g′(x)>k>0g(x)在(0,+∞)上递增,∴g(x)=0至多有一解,f′(x)=0至多有两解，不符合题意。

当k>1时,由g(x)得单调性可知g(x)min=g(lnk)=klnk,要使函数f(x)有三个极值点,即f′(x)=0恰有三个不等正实数根,∴g(x)min=kklnk<0

解得k>e，故①错；

又∵g(1)=ek<0,且1是函数f(x)=lnx+x(k∈R)的一个极值点,∴x1<x2=1<x3，故②正确；

由上可得x1,x3是g(x)=0的两个根,即=kx1,=kx3，

∴f(x1)=lnx1+x1=1+lnk,同理f(x3)=1+lnk，故③正确；

由以上推导可得f(x)在(0,x1)递减,在(x1,1)递增,在(1,x3)上递减,在(3,+∞)上递增。

∴f(x)min=f(x1)=f(x3)=1+lnk>1+lne=2，故④正确。

故答案为：②③④