Question

已知数列，，…，，…，S_n为该数列的前n项和，
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）按照数列和的定义计算即可
（2）按照数学归纳法的证明步骤进行证明．
解答：解：（1）S₁==，
S₂==，
S₃=S₂+=，
S₄=S₃+=．
推测S_n=（n∈N*）．用数学归纳法证明如下：…（5分）
（1）当n=1时，S₁==，等式成立
（2）假设当n=k时，等式成立，
即S_k=，那么当n=k+1时，
S_k+1=S_k+
=+
=
=
=
=
也就是说，当n=k+1时，等式成立．
根据（1）和（2），可知对一切n∈N*，等式均成立…（10分）
点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．