Question

已知幂函数y=xⁿ（n=-1，2，3）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有8个不同的交点，分别为A_i（i=1，2，…，8），F点是椭圆C的右焦点，则8条不同线段A_iF（i=1，2，…，8）中所有两条线段之和最多有（　　）个不同的值．

A．28

B．25

C．24

D．20

Answer 1

分析：先作出图象，根据组合知识可得8条线段中所有两条线段之和有

C

2 8

的值，根据椭圆及幂函数的对称性可得F′A₁=FA₆，F′A₂=FA₅，F′A₃=FA₇，F′A₄=FA₈，由此可得重复值的个数．

解答：解：作出图象如图所示：
易知y=x²关于y轴对称，y=x^-1，y=x³关于原点对称，
再由椭圆的对称性可知，点A₁与A₆、点A₃与A₇、A₄与A₈关于原点对称，
点A₂与A₅关于y轴对称，
设椭圆的左焦点为F′，则F′A₁=FA₆，F′A₂=FA₅，F′A₃=FA₇，F′A₄=FA₈，
所以FA₁+FA₆=FA₁+F′A₁=2a，FA₂+FA₅=FA₂+F′A₂=2a，FA₃+FA₇=FA₃+F′A₃=2a，FA₄+FA₈=FA₄+F′A₄=2a，
所以8条不同线段A_iF（i=1，2，…，8）中所有两条线段之和最多有

C

2 8

-3=25个不同的值，
故选B．

点评：本题考查椭圆的对称性、定义及幂函数的性质，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．