Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F(1，0)，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C₂分别相交于A ，B两点．
(1)如图所示，若，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

Answer 1

（1）；（2）长轴长的最小值为_.

解析试题分析：（1）首先求得抛物线方程为 _.
设直线方程为，并设
利用，得到 ；
联立，可得，应用韦达定理得到 ，
从而得到，求得直线方程.
（2）可求得对称点，
代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,
椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，
由，可得 ，即得解.
（1）由题知抛物线方程为 _。                 2分
设直线方程为，并设
因为，所以.
联立，可得，有            4分
解得：，所以直线方程为：  6分 
（2）可求得对称点，            8分
代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,
设椭圆方程为，联立直线方程和椭圆方程并消元整理得，       10分
因为椭圆与直线有交点，所以，
即：，解得        12分
即
∴长轴长的最小值为._.                        13分
考点：抛物线及其标准方程，椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系.