Question

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

   

Answer 1

思路分析：本题根据等差数列、等比数列的概念,利用等差数列、等比数列中的对称性质设出这四个数,以减少运算量.

    解法一:设这四个数依次为a-d,a,a+d,,

    由条件得

    解得或

∴当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;

    当a=9,d=-6时,所求四个数为15,9,3,1.

    故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

    解法二:设这四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),

    由条件得

    解得或

∴当q=2,a=8时,所求四个数为0,4,8,16;

    当q=,a=3时,所求四个数为15,9,3,1.

    故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

    解法三:设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,

    由已知得

    解得或

    故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

    思维启示：(1)等比数列的“对称设项”方法为:当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为,a,aq;当项数n为偶数且公比大于0时,先设中间两个数为和aq,再以公比为q²向两边对称地依次地设项即可,如四个数成等比数列可设为,,aq,aq³,六个数成等比数列可设为,,,aq,aq³,aq⁵.

(2)对称设项法的好处在于它具有对称性,特别是当已知数列的积时,利用对称设项法可很快地求出a,从而进一步减少了未知数的个数.