Question

设双曲线C与双曲线

y2

4

-

x2

2

=1共渐近线且过点M（

2

，

2

），
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点P（1，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点且点P平分线段AB，若存在求直线l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）由双曲线C与双曲线

y2

4

-

x2

2

=1共渐近线设出双曲线方程

y2

4

-

x2

2

=λ(λ≠0)，代入点的坐标求出λ的值即可得到答案；
（2）假设存在直线l满足条件，设出交点的坐标，利用点差法求出斜率，写出直线方程，和双曲线方程联立后由判别式得符号加以验证．

解答：解：（1）∵双曲线C与双曲线

y2

4

-

x2

2

=1共渐近线，
∴可设C：

y2

4

-

x2

2

=λ(λ≠0)，
又C过点M（

2

，

2

），代入C得λ=-

1

2

，
故C：x2-

y2

2

=1；
（2）设存在过点P（1，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点且点P平分线段AB，
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

2x12-y12=2① 2x22-y22=2②

，
①-②得，2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
又A，B的中点P（1，1），∴k=

y1-y2

x1-x2

=2．
故直线l：y-1=2（x-1），即y=2x-1．
代入椭圆方程得，2x²-4x+3=0．
由于△16-24＜0，∴满足条件的直线不存在．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及中点弦问题，利用点差法能起到事半功倍的作用，是中高档题．