Question

（08年北师大附中月考文）如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB =的菱形，AC∩BD = O，A₁C₁∩B₁D₁ = O₁，E是O₁A的中点.

（1）求证：平面O₁AC⊥平面O₁BD；

（2）求二面角O₁－BC－D的大小；

（3）求点E到平面O₁BC的距离.

Answer 1

解析：证明：（1）在直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ 底面是菱形，且AC∩BD = O，A₁C₁∩B₁D₁ = O₁，

∴ OO₁∥CC₁，又四棱柱是直四棱柱，

∴ OO₁⊥面ABCD，且AC面ABCD，

∴ OO₁⊥AC，又底面ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，

∴ AC⊥面O₁BD，又AC面O₁AC，故平面O₁AC⊥平面O₁BD.

（2）过O作OF⊥BC于F，连结O₁F，根据三垂线定理，得O₁F⊥BC，

∴ ∠O₁FO为所求角，

∵ 底面是边长为4且∠DAB =的菱形，

∴ OF =，又OO₁ = 3，故tan∠O₁FO =，即∠O₁FO =，

故二面角O₁－BC－D的大小是.

（3）设点A到面O₁BC的距离为h，根据（2）可知，O₁F = 2 ，

∴ ，即×h×BC×O₁F =×O₁O××4²×sin，

∴ h = 3，

又E是O₁A的中点，故E到面O₁BC的距离为.