Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为4，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；
（Ⅱ） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
则所求椭圆方程.　　　　　　　　　　------------------------2分
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.                  ----------------------------6分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，,从而     
设直线的斜率为，则，直线的方程为：
直线的方程为. 设
由，消去可得
由抛物线定义可知：
   -------------------9分
由消去得，
从而      

令，∵则  ,则
因为  , 所以       
所以四边形PMQN面积的最小值为8          ------------------------------12分

略