Question

【题目】已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（1）由题已知函数的解析式（注意定义域），可运用导数求出函数的单调区间。即： 为函数的增区间，反之为减区间。由导函数中含有字母参数，需分类讨论；

（2）由题给出了函数的最大值的范围大于，再结合（1）已知函数的单调区间，可对应单调性，表示出函数的最大值，从而建立不等式lna+a-1＜0，需构造函数利用单调性解出不等式的解，而求出的取值范围。

试题解析：

（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；

当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a-1，

∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a-1＜0，

令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，

∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）.