Question

如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=2

3

．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD．
∴V=

1

3

×42×2

3

=

32 3

3

．
（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．
则AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
3）存在，N为AB中点．
证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．
由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，
∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．
由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．
又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，
∵CN?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．