【题目】已知抛物线
焦点为
，
为抛物线上在第一象限内一点，
为原点，
面积为
.
（1）求抛物线方程；
（2）过
点作两条直线分别交抛物线于异于点的两点
，
，且两直线斜率之和为
，
（i）若
为常数，求证直线
过定点
；
（ii）当改变时，求（i）中距离最近的点的坐标.
【答案】（1）
；（2）( i )见解析；（ii）
【解析】
（1）先将
代入抛物线的方程，根据三角形面积，求出
，即可得出抛物线方程；
（2）（i）先设直线
不存在时没有两个交点，不成立)，
，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到
，表示出
，化简整理，得到
，代入直线方程，即可得出结果；
（ii）由（i）得到定点
在直线
上，易得，距离
最近时为
，进而可求出结果.
（1）由题意，将代入抛物线
得
，
所以
面积为
，
，解得，
所以抛物线方程为；
（2）（i）由题意，设直线不存在时没有两个交点，不成立)，，
联立
得
，所以，
所以
，
则
，
从而
，
带入得直线
所以过定点
（ii）由（i），令
，
，所以，
即定点在直线上，
因为过点的直线
与垂直，
由
得
，
所以距离最近时
为.
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【题目】如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．
（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；
（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；
（3）当xA∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．
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【题目】如图，四棱锥
中，底面
为梯形， 
底面
， 
， 
， 
， 
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）设
为
上的一点，满足
，若直线
与平面
所成角的正切值为
，求二面角
的余弦值．
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【题目】若给定椭圆
和点
，则称直线
为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线
与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设
，问
是否为定值？说明理由．
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【题目】已知等比数列
的首项
，数列前
项和记为
，前项积记为
.
(1) 若
，求等比数列的公比
；
(2) 在(1)的条件下，判断
与
的大小；并求为何值时，取得最大值；
(3) 在(1)的条件下，证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
，则数列
为等比数列.
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【题目】在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线上的点A、B满足
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点A在第一象限，且
，求点A的坐标；
（3）求证：原点到直线AB的距离为定值.
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