Question

【题目】已知函数f（x）=|ax﹣1|
（1）若f（x）≤2的解集为[﹣3，1]，求实数a的值；
（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：显然a≠0，当a＞0时，解集为：[ ， ]，﹣ ， ，无解；

当a＜0时，解集为：[ ，﹣ ]，令﹣ =1， ，解得a=﹣1，

综上a=﹣1．

（2）解：a=1时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|2x|﹣|x﹣2|= ，

由此可知，h（x）在（﹣∞，0]，上是单调递减，

在[0，+∞）上单调递增，则x=0时，h（x）取得最小值﹣2，

由题意可知﹣2≤3﹣2m，则实数m的取值范围是（﹣∞， ]．

【解析】（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可．（2）利用a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可．
【考点精析】关于本题考查的绝对值不等式的解法，需要了解含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能得出正确答案．