Question

已知关于x的方程：x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．
（1）求实数a，b的值．
（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）复数方程有实根，方程化简为a+bi=0（a、b∈R），利用复数相等，即解方程组即可．
（2）先把a、b代入方程，同时设复数z=x+yi，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，求出z，得到|z|．
解答：解：（1）∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|-3-3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z点的轨迹是以O₁（-1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示，
如图，

当z点在OO₁的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=，
半径r=2，
∴当z=1-i时．
|z|有最小值且|z|_min=．
点评：本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．
是有一定难度的中档题目．