Question

四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，E为PB的中点．
（1）求证：AE⊥面PBD．
（2）设点M为线段PD上一点，且直线CM与平面PAD所成角的正弦值为

6

5

，求

PM

PD

的值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直．
（2）利用直线CM与平面PAD所成角的正弦值为

6

5

，确定M的位置，然后求

PM

PD

的值．

解答：解：（1）因为AB=

1

2

AD，∠BAD=60°，所以AB⊥BD，
因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，AB⊥BD，
所以BD⊥面PAB，所以BD⊥AE，
又PA=PB，E为PB的中点，
所以AE⊥PB，因为BD∩PB=B，
所以AE⊥面PBD．
（2）取AB的中点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，OP为z轴，以平行BD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则A（1，0，0），B（-1，0，0），P（0，0，

3

），D（-1，2

3

，0），C（-3，2

3

，0），则

AP

=(-1，0

3

)，

AD

=(-2，2

3

，0)，

PD

=(-1，2

3

，-

3

)．，

PC

=(-3，2

3

，-

3

)，所以
设平面PAD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n ? AP =0 n ? AD =0

，即

-x+ 3 z=0 -2x+2 3 y=0

，令z=1，则x=

3

，y=1，
即

n

=(

3

，1，1)．
因为点M为线段PD上一点，设

PM

PD

=m，（0≤m≤1），则

PM

=m

PD

=(-m，2

3

m，-

3

m)，

MC

=

MP

+

PC

=(m-3，2

3

-2

3

m，

3

m-

3

)，
因为直线CM与平面PAD所成角的正弦值为

6

5

，所以|cos＜

n

，

MC

＞|=

6

5

．
即

| n ? MC |

| n || MC |

=

6

5

，整理得8m²-18m+7=0，解得m=

1

2

或m=

7

4

（舍去）．
故

PM

PD

的值为

1

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及线面所成角的应用．建立空间直角坐标系，利用法向量是解决本题的关键，本题运算量较大，综合性较强．