Question

【题目】已知函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x．
（1）求f（x）递增区间；
（2）求f（x）的对称轴方程；
（3）求f（x）的最大值并写出取最大值时自变量x的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1= sin（2x+ ）+2．

令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，解得 ≤x≤ +kπ（k∈Z），

∴f（x）递增区间为[ ， +kπ]（k∈Z）

（2）解：由2x+ =kπ+ ，解得x= + （k∈Z），

∴f（x）的对称轴方程为：x= + （k∈Z）

（3）解：当2x+ =2kπ+ ，解得x=kπ+ （k∈Z），f（x）max= +2．

∴f（x）取最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+ （k∈Z）}

【解析】（1）利用倍角公式、和差公式可得函数f（x）= sin（2x+ ）+2．令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，解出即可得出f（x）递增区间．（2）由2x+ =kπ+ ，解出x即可得出．（3）当2x+ =2kπ+ ，解得x=kπ+ （k∈Z），可得f（x）max= +2．