Question

已知奇函数f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（2）若函数f（x）在区间[-1，-2]上单调递增，试确定的取值范围．

Answer 1

分析：题干错误：（2）若函数f（x）在区间[-1，-2]上单调递增，应该是：（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增
（1）设x＜0，则-x＞0，可得f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．再由f（-x）=-f（x），求得f（x）=x²+2x=x²+mx，从而求得m的值．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，结合f（x）的图象知

a-2＞-1 a-2≤1

，由此求得a的范围．

解答：解：（1）由于奇函数f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

，设x＜0，则-x＞0，
所以，f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x．
又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是x＜0时，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2，如图所示：

（2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增，
结合f（x）的图象知

a-2＞-1 a-2≤1

，

解得1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，作函数的图象，函数的单调性的应用，属于中档题．