Question

【题目】已知椭圆（）的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.

(1)由题意可得，，又，

解得，.

所以，椭圆的方程为

(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.

设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.

设，，定点.(依题意

则由韦达定理可得，，.

直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.

所以，，即得.

又，，

所以，，整理得，.

从而可得，，

即，

所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.