Question

【题目】将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先证明平面上一定存在三顶点同色的直角三角形.在平面上任作直线，则上必有两点同色，设此两点为，.过，分别作的垂线，.如果或上有与，同色的点，则

即为三顶点同色的直角三角形.如果与上除与外其余点均与，异色，则在上取异于的两点，，并过作，垂足为，则即为三顶点同色的直角三角形.因此，平面上一定存在三顶点同色的直角三角形，设其中之一为.将对称地补成矩形.用两组分别平行于与的等分平行线将矩形等分成个与原矩形相似的小矩形.（如图）

以下用反证法证明：若为奇数，则在这些小矩形中必有一个，它的顶点中至少有三个同色，即存在一个三顶点同色的小直角三角形.假设不存在三顶点同色的小直角三角形.线段上端点及分点共个，为偶数，因此上必有相邻的两点同色（若每相邻两点异色，则，亦应异色，与已知矛盾），不妨设为，.则，所在的小矩形的另两个顶点必与，异色（否则已出现同色小三角形）.依次类推，可知矩形中，每条竖线上的两顶点都同色.同理，线段上有相邻两点，同色，也有矩形，其中每条横线上的两顶点都同色.设矩形与的公共部分为小矩形，由以上所说，与同色且与同色，从而即是三顶点同色的小直角三角形.这与假设矛盾.因此必存在一个三顶点同色的小直角三角形.这个三顶点同色的小直角三角形与原直角三角形是相似的，相似比为，当时就是题目所要证明的结论.